题目内容
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC、AD的中点.
（1）求证：DE∥平面PFB；
（2）已知二面角P-BF-C的余弦值为
，求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】(1)证：DE//BF即可；
（2）可以利用向量法根据二面角P-BF-C的余弦值为,确定高PD的值，即可求出四棱锥的体积.也可利用传统方法直接作出二面角的平面角，求高PD的值也可.在找平面角时，要考虑运用三垂线或逆定理.
【答案】
（Ⅰ）因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，
所以
,
2分
所以，
为平行四边形, 3分
得
，
4分
又因为
平面PFB，且
平面PFB, 所以DE∥平面PFB. 5分
（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA,DC,DP分
别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 6分
设PD=a, 可得如下点的坐标：
P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0) 则有：
因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为
， 7分
设平面PFB的一个法向量为
，则可得
即 
令x=1,得
，所以
. 8分
由已知，二面角P-BF-C的余弦值为
，所以得:
,
解得a =2. 因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为
.
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