题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:(a>b>0)的离心率为
,且椭圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)己知A,B分别为椭圆E的左、右顶点,过x轴上一点P(异于原点)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆E相交于C,D两点,且直线AC与BD相交于点Q.①若k=1,求线段CD中点横坐标的取值范围;②判断是否为定值,并说明理由.
【答案】(1);(2)①
;②为定值
,理由见解析
【解析】
(1)根据离心率和短轴的端点到焦点的距离列方程组,解方程组求得的值,由此求得椭圆的标准方程.
(2)①当时,设直线
的方程为
,联立直线的方程和椭圆的方程,利用判别式列不等式求得
的取值范围.利用韦达定理以及中点坐标公式求得
中点的横坐标,根据
的取值范围,求得
中点的横坐标的取值范围.
②将两点的坐标并代入椭圆方程进行化简.设直线
的方程为
,求得
点的坐标,联立直线
的方程和椭圆方程,写出韦达定理.利用直线
和直线
的方程进行化简,求得
点的横坐标,由此求得
(1)由于椭圆离心率为,且椭圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2,所以
,解得
,所以椭圆的标准方程为
.
(2)①当时,设直线
的方程为
,
,
中点坐标为
,由
,得
.所以
.由
,解得
.故
中点横坐标为
,当
时,即
的中点为原点时,
与
重合,不满足条件.所以线段
中点横坐标的取值范围是
.
②为定值,理由如下:因为
分别为椭圆
的左右顶点,所以
,因为
在椭圆上,所以
,所以
,所以
.
设直线的方程为
,则
.由
得
,所以
,,也是要
,又直线
与直线
的方程分别为
与
,两方程相除得
,解得
,所以
为定值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着互联网经济不断发展,网上开店销售农产品的人群越来越多,网上交易额也逐年增加,某一农户农产品连续五年的网银交易额统计表,如下所示:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
网上交易额 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
经研究发现,年份与网银交易额之间呈线性相关关系,为了计算的方便,农户将上表的数据进行了处理,,得到如表:
时间代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(1)求关于
的线性回归方程;
(2)通过(1)中的方程.求出关于
的回归方程;并用所求回归方程预测到2020年年底,该农户网店网银交易额可达多少?
(附:在线性回归方程中,
,
)