Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率为，焦距为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，动直线： 交椭圆于两点， 是椭圆上一点，直线的斜率为，且， 是线段延长线上一点，且， 的半径为， 是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1） （2） 的最大值为 ，取得最大值时直线的斜率为 .

【解析】试题分析：（I）本小题由， 确定即得.

（Ⅱ）通过联立方程组化简得到一元二次方程后应用韦达定理，应用弦长公式确定及

圆的半径表达式.

进一步求得直线的方程并与椭圆方程联立，确定得到的表达式，研究其取值范围.这个过程中，可考虑利用换元思想，应用二次函数的性质及基本不等式.

试题解析：（I）由题意知 ， ，

所以 ，

因此 椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，

联立方程

得，

由题意知，

且，

所以 .

由题意可知圆的半径为

由题设知，

所以

因此直线的方程为.

联立方程

得，

因此 .

由题意可知 ，

而

，

令，

则，

因此 ，

当且仅当，即时等号成立，此时，

所以 ，

因此，

所以 最大值为.

综上所述： 的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.