Question

19．已知数列{a_n}中，a₁=3，且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）
（Ⅰ）证明：数列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）整理变形a_n-1=2（a_n-1-1）+2ⁿ，（n≥2且n∈N^*）式两端同除以2ⁿ得出：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$$-\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1=常数，运用等差数列的和求解即可．
（2）根据数列的和得出S_n=（1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）+n，设T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，运用错位相减法求解即可．得出T_n，代入即可．

解答 解：（1）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）
∴a_n-1=2（a_n-1-1）+2ⁿ，（n≥2且n∈N^*）
∴等式两端同除以2ⁿ得出：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$$-\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1=常数，
∵a₁=3，
∴$\frac{{a}_{1}-1}{{2}^{1}}$=$\frac{3-1}{2}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}为等差数列，且首项为1，公差为1，
（2）∵根据（1）得出$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=1+（n-1）×1=n，a_n=n×2ⁿ+1
∴数列{a_n}的前n项和S_n=（1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）+n，
令T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②得出：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=n×2ⁿ⁺¹-2×2ⁿ+2，
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2+n

点评 本题考察了数列的递推关系式的运用，错位相减法求解数列的和，考察了学生的分析问题，化简计算的能力．