题目内容
【题目】已知圆过点
,
,且圆心
在直线
上,过点
作直线
与圆
:
交于两点
,
.
(1)求圆的方程;
(2)当时,若
于圆
交于
,
且
,求直线
的方程;
(3)若点恰好是线段
的中点,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
或
;(3)
或
.
【解析】
(1)设圆的方程为:
,代入已知条件求得
即可;
(2)验证直线斜率不存在时,满足题意,直线
斜率存在时,设其方程为
,由求出两圆心到直线
的距离,由勾股定理求得两弦长,由
求得
.
(3)记中点为
,则
,设
,
,则
,
,由勾股定理得
的关系,消去
后可把
表示为
的函数,由
可得
的范围.
(1)设圆的方程为:
,
则解得
.
圆
的方程为
.
(2)当直线斜率不存在时,直线
方程为
,
,
,符合题意;
直线斜率存在时,设直线
的方程为
,即
,
此时,到直线
的距离为
,
到直线
的距离为
,
,
.
若,则
,解得
.
直线
的方程为
.
综上,直线的方程为
或
.
(3)设是
中点,则
,设
,
,则
,
,
,
又,
,
或
.
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