题目内容
(2007•肇庆二模)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面是边长为2的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E为AB的中点.
(Ⅰ)求证二面角E-PC-D为直二面角;
(Ⅱ)求点D到面PEC的距离.
(Ⅰ)求证二面角E-PC-D为直二面角;
(Ⅱ)求点D到面PEC的距离.
分析:(I)取PC、PD的中点F、G,连接EF、FG、AG.由线面垂直的判定与性质,证出CD⊥面PAD,从而得到CD⊥AG,结合等腰Rt△PAD中AG⊥PD得到AG⊥面PCD.再由平行四边形的性质和三角形中位线定理,证出四边形AEFG为平行四边,可得EF∥AG,从而EF⊥面PCD,结合EF?面PEC,可得面PEC⊥面PCD,所以二面角E-PC-D为直二面角;
(II)在RT△PCD中DH⊥PD,垂足为H.由线面垂直的判定与性质,证出DH⊥面PCE,即DH的长度为点D到面PEC的距离.再由平面几何解三角形的知识,结合题中数据和位置关系加以计算,求得DH=
,即得点D到面PEC的距离.
(II)在RT△PCD中DH⊥PD,垂足为H.由线面垂直的判定与性质,证出DH⊥面PCE,即DH的长度为点D到面PEC的距离.再由平面几何解三角形的知识,结合题中数据和位置关系加以计算,求得DH=
2
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3 |
解答:解:(Ⅰ)取PC、PD的中点F、G,连接EF、FG、AG.
∵PA⊥面ABCD,CD?面ACBD,
∴PA⊥CD,
∵AD⊥CD,PA∩AD=A,∴CD⊥面PAD,
又∵AG?面PAD,∴CD⊥AG.(2分)
∵AG是等腰Rt△PAD斜边PD上的中线,
∴AG⊥PD,(3分)
∴结合 PD∩AD=D,可得AG⊥面PCD.(4分)
∵FG是△PCD的中位线,
∴FG∥CD且FG=
CD,
又∵平行四边形ABCD中,AE∥CD且AE=
CD,
∴FG
AE,即四边形AEFG为平行四边.
∴EF∥AG,(6分)
∴EF⊥面PCD,(7分)
又∵EF?面PEC,∴面PEC⊥面PCD,
即二面角E-PC-D为直二面角.(8分)
(Ⅱ)如图,在RT△PCD中DH⊥PD,垂足为H.
∵面PEC⊥面PCD,且DH垂直于它们的交线,
∴DH⊥面PCE,即DH的长度为点D到面PEC的距离.(10分)
在RT△PCD中,CD=2,PD=2
,PC=2
,
∴DH=
=
=
,
即点D到面PEC的距离
.(12分)
∵PA⊥面ABCD,CD?面ACBD,
∴PA⊥CD,
∵AD⊥CD,PA∩AD=A,∴CD⊥面PAD,
又∵AG?面PAD,∴CD⊥AG.(2分)
∵AG是等腰Rt△PAD斜边PD上的中线,
∴AG⊥PD,(3分)
∴结合 PD∩AD=D,可得AG⊥面PCD.(4分)
∵FG是△PCD的中位线,
∴FG∥CD且FG=
1 |
2 |
又∵平行四边形ABCD中,AE∥CD且AE=
1 |
2 |
∴FG
∥ |
. |
∴EF∥AG,(6分)
∴EF⊥面PCD,(7分)
又∵EF?面PEC,∴面PEC⊥面PCD,
即二面角E-PC-D为直二面角.(8分)
(Ⅱ)如图,在RT△PCD中DH⊥PD,垂足为H.
∵面PEC⊥面PCD,且DH垂直于它们的交线,
∴DH⊥面PCE,即DH的长度为点D到面PEC的距离.(10分)
在RT△PCD中,CD=2,PD=2
2 |
3 |
∴DH=
CD×PD |
PC |
2×2
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2
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2
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3 |
即点D到面PEC的距离
2
| ||
3 |
点评:本题在四棱锥中求证线面面垂直,并求点到平面的距离,着重考查了线面垂直的判定与性质、三角形中位线定理和平行四边形的性质,考查了空间的点面距离的定义与求法,属于中档题.
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