题目内容

已知函数f(x)=在x=0,x=处存在极值。
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象上存在两点A,B使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在y轴上,求实数c的取值范围;
(Ⅲ)当c=e时,讨论关于x的方程f(x)=kx(k∈R)的实根个数。

(Ⅰ);(Ⅱ)实数c的取值范围是(0,+∞) ;(Ⅲ)当k>或k<0时,方程f(x)=kx有一个实根;当k=或k=0时,方程f(x)=kx有两个实根;当0<k<时,方程f(x)=kx有三个实根。

解析试题分析:(Ⅰ)由于两个极值点都小于零,故对求导,,即当时,,依题意,由可求实数的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)可求得,依题意A,B的横坐标互为相反数,不妨设,分讨论,利用是直角,,即可求得实数的取值范围;(Ⅲ)由方程,知,可知一定是方程的根,,方程等价于,构造函数,分两类讨论,即可确定的实根的个数.
试题解析:(Ⅰ)当x<1时,.
因为函数f(x)在x=0,x=处存在极值,所以
解得a=1,b=0.                                              (3分)
(Ⅱ)由(1)得
根据条件知A,B的横坐标互为相反数,不妨设A(-t,t3+t2), B(t,f(t)(t>0).   (4分)
若t<1,则f(t)=-t3+t2,
由∠AOB是直角得·=0,即-t2+(t3+t2)(-t3+t2)=0,
即t4-t2+1=0.此时无解;                                    (5分)
若t≥1,则f(t)=c(et―1―1).由于AB的中点在y轴上,且∠AOB是直角,
所以B点不可能在x轴上,即t≠1.
同理·=0, 即-t2+( t3+t2)·c(et―1―1)=0,
整理后得 .                                (7分)
因为函数y=(t+1)(et-1―1)在t>1上的值域是(0, +∞),
所以实数c的取值范围是(0, +∞).                         (8分)
(3)由方程f(x)=kx,

因为0一定是方程的根,                                 (9分)
所以仅就x≠0时进行研究:
方程等价于
构造函数                       (10分)
对于x<1且x≠0部分,函数g(x)=-x2+x的图象是开口向下的抛物线的一部分,当x=时取得最大值,其值域是(-∞, 0)∪(0, ];        (11分)
对于x≥1部分,函数,由
知函数g(x)在(1, +∞)上单调递增,则g(x)[0,+)         (13分)
所以, ①当k>或k<0时,方程f(x)=kx有一个实根;
②当k=或k=0时,方程f(x)=kx有两个实根;
③当0<k<时,方程f(x)=kx有三个实根。            (14分)
考点:利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断.

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