题目内容
已知函数f（x）=ex+alnx的定义域为D，关于函数f（x）给出下列命题：
①对于任意函数a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；
②对于任意函数a∈（-∞，0），函数f（x）存在最小值；
③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0．
其中正确命题的序号是（ ）
①对于任意函数a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；
②对于任意函数a∈（-∞，0），函数f（x）存在最小值；
③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0．
其中正确命题的序号是（ ）
分析：求出函数的导函数，分析当a∈（0，+∞）时，导函数的符号，进而可得函数的单调性；分析当a∈（-∞，0）时，函数的单调性，进而求出函数的最值，进而可判断②；分析函数的零点及单调性，可判断③．
解答：解：∵f′（x）=ex+
，定义域为D（0，+∞）．
当a∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）是D上的增函数，故①错误；
当a∈（-∞，0）时，存在x0∈D，使f′（x）=0，
则f（x）在（0，x0）上是减函数，在（x0，+∞）上是增函数，
则f（x0）为函数的最小值，故②正确；
当a∈（0，+∞）时，函数存在零点x0，由①得f（x）是D上的增函数，
则当x∈（0，x0）时，f（x）＜0．故③错误；
故选：A
| a |
| x |
当a∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）是D上的增函数，故①错误；
当a∈（-∞，0）时，存在x0∈D，使f′（x）=0，
则f（x）在（0，x0）上是减函数，在（x0，+∞）上是增函数，
则f（x0）为函数的最小值，故②正确；
当a∈（0，+∞）时，函数存在零点x0，由①得f（x）是D上的增函数，
则当x∈（0，x0）时，f（x）＜0．故③错误；
故选：A
点评：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了利用导函数求函数的单调性，最值，零点，难度中档．
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