Question

给出下列五个命题：
①若集合A={x|ax²+2x+1=0}中只有一个元素，则a=1；
②图象不经过点（-1，1）的幂函数，一定不是偶函数；
③函数f（x）在[a，b]上连续，且f（a）f（b）＜0，则方程f（x）=0在（a，b）内只有唯一实根；
④设θ是第二象限角，则tan

θ

2

＞cos

θ

2

，且sin

θ

2

＞cos

θ

2

；
⑤设O使△ABC的外心，OD⊥BC于D，且|

AB

|=

3

，|

AC

|=1，则 

AD

•(

AB

-

AC

)=1．
其中正确命题序号为

②⑤

．

Answer 1

分析：由函数和集合以及三角函数和向量的知识，逐个判断即可，其中错误的可举反例来说明．

解答：解：当a=0时，集合A={-

1

2

}，满足只有一个元素故选项①错误；
因为幂函数的图象都过点（1，1），若为偶函数一定过点（-1，1），故②正确；
由根的存在性定理可知有根，但个数不确定，故③错误；
④错误，比如当θ=

11π

4

时，为第二象限角，但

θ

2

=

11π

8

＞

5π

4

，在第三象限，
有sin

θ

2

＜cos

θ

2

成立；
⑤正确，因为O为△ABC的外心，可得OB=OC，又OD⊥BC于D，可得D为BC的中点，
故

AD

•(

AB

-

AC

)=

1

2

(

AB

+

AC

)•(

AB

-

AC

)=

1

2

(

AB

2-

AC

2)=1，
故答案为：②⑤

点评：本题考查命题真假的判断，涉及函数和集合以及三角函数和向量，属基础题．