Question

2．定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）+1，当x∈[0，1）时，f（x）=（2^x-1）（2^x-2），若f（x）在[n．n+1]上的最小值为23，则n=（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 根据x∈[0，1]时，f（x）=（2^x-1）（2^x-2）=2^2x-3•2^x+2=（2^x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，研究其最小值，再考虑当x∈[1，2]、[2，3]时，相应函数的最小值，总结规律即可得到结论．

解答 解：①当x∈[0，1）时，f（x）=（2^x-1）（2^x-2）
=2^2x-3•2^x+2=（2^x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵0≤x＜1，∴1≤2^x＜2，
当2^x=$\frac{3}{2}$，x=log₂$\frac{3}{2}$时，f （x）_min=-$\frac{1}{4}$；
②当n=1，即x∈[1，2]时，有x-1∈[0，1]，f（x-1）=（2^x-1-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$
f（x）=2f（x-1）+1=2（2^x-1-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
∵0≤x-1≤1，1≤2^x-1≤2，当2^x-1=$\frac{3}{2}$，x=log₂3时，f （x）_min=$\frac{1}{2}$，
③当n=2，即x∈[2，3]，有x-2∈[0，1]，f（x-2）=（2^x-2-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
f（x-1）=2f（x-2）+1=2（2^x-2-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
f（x）=2f（x-1）+1=4（2^x-2-$\frac{3}{2}$）²+2，
则2^x-2=$\frac{3}{2}$，即x=log₂6时，f（x）取得最小值2；
同理可得当n=3，即x∈[3，4]，f（x）的最小值为2×2+1=5，
当n=4，即x∈[4，5]，f（x）的最小值为2×5+1=11，
当n=5，即x∈[5，6]，f（x）的最小值为2×11+1=23．
故选C．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用指数函数和二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．