Question

17．已知函数f（x）=|x²-a|+x²+kx，（a为常数且0＜a＜4）．
（1）若a=k=1，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x₁，x₂．求$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于a=k=1，故函数f（x）=|x²-1|+x²+x，分类讨论去掉绝对值，求得f（x）＞2的解集．
（2）由题意可得，f（x）在在$（0，\sqrt{a}]$上有一零点，在$（\sqrt{a}，2）$上有一零点；或f（x）在$（\sqrt{a}，2）$上有两个零点．分别求得k的范围，再利用二次函数的性质求得$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$的取值范围．

解答 解：（1）由于a=k=1，故函数f（x）=|x²-1|+x²+x．
若x²-1≥0，则|x²-1|+x²+x＞2，即2x²+x-3＞0，解得$x＞1或x＜-\frac{3}{2}$；
若x²-1＜0，则|x²-1|+x²+x＞2，即1-x²+x²+x＞2，∴x＞1，故不等式无解．
综上所述：f（x）＞2的解集$\left\{{\left.x\right|x＞1或x＜-\frac{3}{2}}\right\}$．
（2）因为0＜a＜4，所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2{x^2}+kx-a\;\;\;\;x∈（\sqrt{a}，2）\\ kx+a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x∈（0，\sqrt{a}]\end{array}\right.$，
因为函数f（x）在（0，2）上有两个零点有两种情况：可以在$（0，\sqrt{a}]$上有一零点，在$（\sqrt{a}，2）$上有一零点；
或f（x）在$（\sqrt{a}，2）$上有两个零点．
当f（x）=0在$（\sqrt{a}，2）$上有两个零点，则有$\left\{\begin{array}{l}f（\sqrt{a}）＞0\\ f（2）＞0\\△＞0\\ \sqrt{a}＜-\frac{k}{4}＜2\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}k＞-\sqrt{a}\\ k＞\frac{a-8}{2}\\ k＞2\sqrt{2a}或k＜-2\sqrt{2a}\\ k＜-4\sqrt{a}\end{array}\right.$，
∵$-4\sqrt{a}＜-\sqrt{a}$，所以不等式组无解．
当在$（0，\sqrt{a}]$上有一零点，在$（\sqrt{a}，2）$上有一零点，∵$\left\{\begin{array}{l}0＜-\frac{a}{k}＜\sqrt{a}\\（8+2k-a）（2a+k\sqrt{a}-a）＜0\end{array}\right.$，
且0＜a＜4，∴$\frac{a-8}{2}＜-\sqrt{a}$，∴$\left\{\begin{array}{l}k＜-\sqrt{a}\\ \frac{a-8}{2}＜k＜-\sqrt{a}\end{array}\right.$，所以k的取值范围为$\frac{a-8}{2}＜k＜-\sqrt{a}$．
不妨令${x_1}=-\frac{a}{k}，{x_2}=\frac{{-k+\sqrt{{k^2}+8a}}}{4}$，∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{k}{a}+\frac{4}{{\sqrt{{k^2}+8a}-k}}=\frac{{\sqrt{{k^2}+8a}-k}}{2a}$，
令$f（k）=\sqrt{{k^2}+8a}-k$，则f（k）在区间$（\frac{a-8}{2}，-\sqrt{a}）$上为减函数，∴f（k）∈（4$\sqrt{a}$，8），
∴$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$∈（$\frac{2}{\sqrt{a}}$，$\frac{4}{a}$）．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，方程根的存在性以及个数判断，二次函数的性质，属于中档题．