题目内容
定义在
上的单调函数
满足
，且对任意
都有
（1）求证：为奇函数；
（2）若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
（1）证明见试题解析；（2）
．
解析试题分析：(1)这是抽象函数问题，要证明它是奇函数，当然要根据奇函数的定义，证明
或
，由此在已知式里设
，从而有
，因此我们还要先求出
，这个只要设
或者有一个为0即可得
，故可证得为奇函数；（2）不等式可以利用为奇函数的结论，变形为
，再利用函数的单调性去掉符号“
”，转化为关于
的不等式恒成立问题，即
对任意成立，这时还需要用换元法（设
）变化二次不等式怛成立，当然不要忘记
的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）证明：∵ 
①
令
，代入①式，得
即
令
，代入①式，得
，又
则有
即
对任意成立，
所以是奇函数. 4分
（Ⅱ）解：
，即
，又在上是单调函数，
所以在上是增函数.
又由（1）是奇函数.
，即对任意成立.
令
，问题等价于
对任意
恒成立. 8分
令
其对称轴
.
当
时，即
时，
，符合题意； 10分
当
时，对任意
恒成立
解得
12分
综上所述，
对任意恒成立时，
实数的取值范围是：. 13分
考点：(1)奇函数的定义；；（2）不等式恒成立问题.
练习册系列答案
冲刺100分1号卷系列答案
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满足：当
时，
，当
时，
.
时，
的表达式；
满足什么条件时，函数
有4个零点，且这4个零点从小到大依次构成等差数列.
，求
的值.
，对一切
恒成立；命题q：函
是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
．
，集合
,求
，
.
的解集为M，求当x∈M时函数
的最大、最小值.
=
,
=
,若曲线
和曲线
都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线
.
,
,
,
的值;
时,
≤
,求
的取值范围.
；
.
辟为水果园，其中
， 
，
．若经过
上一点
和
上一点
铺设一条道路
，且
．
的关系式；
的位置在哪里？