题目内容
已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)求的极值;
(3)若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,求实数的取值范围.
(1);(2);(3).
解析试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数求函数的极值与最值等基础知识,考查学生的转化能力和计算能力.第一问,将代入,先得到的解析式,对求导,将代入中,得到切线的斜率,将代入到中得到切点的纵坐标,最后利用点斜式写出切线方程;第二问,对求导,在定义域内,利用为单调递增函数,为单调递减函数,判断函数的单调性,利用函数的单调性判断函数的极值点位置;第三问,结合第二问的结论,讨论与的大小,分和两种情况,通过判断的单调性最值,画出的简图,看与是否有公共点,从而求出a的取值范围.
试题解析:(1),且.
又,.
在点处的切线方程为:,
即.4分
(2)的定义域为,,令得.
当时,,是增函数;
当时,,是减函数;
在处取得极大值,即.8分
(3)(i)当,即时,
由(Ⅱ)知在上是增函数,在上是减函数,
当时,取得最大值,即.
又当时,,
当时,,当时,,
所以,的图像与的图像在上有公共点,
等价于,解得,又因为,所以.
(ii)当,即时,在上是增函数,
在上的最大值为,
原问题等价于,解得
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