题目内容

已知向量
a
，
b
的夹角为60°，且|
a
|=1，|
b
|=2，设
m
=3
a
-
b
，
n
=t
a
+2
b

（1）求
a
•
b
；  （2）试用t来表示
m
•
n
的值；（3）若
m
与
n
的夹角为钝角，试求实数t的取值范围．
分析：（1）由已知中向量
a
，
b
的夹角为60°，且|
a
|=1，|
b
|=2，代入向量数量积公式，易求出
a
•
b
；  
（2）根据已知中
m
=3
a
-
b
，
n
=t
a
+2
b
，结合向量
a
，
b
的夹角为60°，且|
a
|=1，|
b
|=2，代入向量数量积公式，即可表示出
m
•
n
的值；
（3）若
m
与
n
的夹角为钝角，于是
m
•
n
＜0且
m
与
n
不平行，根据（2）中结论，构造关于t的不等式组，解不等式组，即可得到实数t的取值范围．
解答：解：（1）∵向量
a
，
b
的夹角为60°，且|
a
|=1，|
b
|=2，
∴
a
•
b
=1×2×cos60°=1；  …（3分）
（2）∵
m
=3
a
-
b
，
n
=t
a
+2
b

∴
m
•
n
=(3
a
-
b
)•(t
a
+2
b
)=3t
a
2+(6-t)
a
•
b
-2
b
2=3t+6-t-2×4=2t-2…（3分）
（3）夹角为钝角，于是
m
•
n
＜0且
m
与
n
不平行．
其中
m
•
n
＜0⇒t＜1，而
m
∥
n
⇒t=-6，
于是实数t的取值范围是t∈（-∞，-6）∪（-6，1）．…（3分），其中没排除平行情况扣（2分）
点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角，熟练掌握平面向量的数量积公式，是解答本题的关键，（3）中易忽略t=-6时，向量
m
与
n
反向的情况，而错解为（-∞，1）
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
与
b
的夹角为
π
3
，|
a
|=
2
，则
a
在
b
方向上的投影为（　　）
A、
3
B、
2
C、
2
2
D、
3
2
已知向量
a
、
b
的夹角为45°，且|
a
|=4，（
1
2
a
+
b
）•（2
a
-3
b
）=12，则|
b
|=
 
；
b
在
a
上的投影等于
 
．
已知向量
a
、
b
的夹角为120°，且|
a
|=|
b
|=4，那么
b
•(2
a
+
b
)的值为（　　）
（2009•烟台二模）已知向量
a
，
b
的夹角为120°，|
a
|=|
b
|=1.
c
与
a
+
b
共线，|
a
+
c
|的最小值为（　　）
（2009•闸北区二模）已知向量
a
和
b
的夹角为120°，|
a
|=2，且(2
a
+
b
)⊥
a
，则|
b
|=________（　　）

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