Question

已知动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=-1的距离相等，点C在直线l上．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设过定点F，法向量

n

=(4，-3)的直线与（1）中的轨迹相交于A，B两点，判断∠ACB能否为钝角并说明理由．

Answer 1

分析：（1）动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=-1的距离相等，由此能求出M的轨迹方程．
（2）直线AB的方程为4x-3y-4=0，故A、B两点的坐标满足方程组

y2=4x 4x-3y-4=0

，得A（4，4），B(

1

4

，-1)
设C（-1，y），则

CA

=(5，4-y)，

CB

=(

5

4

，-1-y)，由此知∠ACB不可能为钝角．

解答：解：（1）动点M到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=-1的距离相等，
所以M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，
轨迹方程为y²=4x（6分）
（2）由题意，直线AB的方程为4x-3y-4=0（8分）
故A、B两点的坐标满足方程组

y2=4x 4x-3y-4=0

得A（4，4），B(

1

4

，-1)
设C（-1，y），则

CA

=(5，4-y)，

CB

=(

5

4

，-1-y)（10分）
由

CA

•

CB

=

25

4

+(4-y)(-1-y)=(y-

3

2

)2≥0，
所以∠ACB不可能为钝角．（13分）

点评：本题考查轨迹方程的求法和判断∠ACB能否为钝角并说明理由．解题时要认真审题，熟练掌握抛物线的性质，合理地进行等价转化．