Question

已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．
（1）求证：M点的轨迹是抛物线，并求出其方程；
（2）大家知道，过圆上任意一点P，任意作互相垂直的弦PA、PB，则弦AB必过圆心（定点）．受此启发，研究下面问题：
1过（1）中的抛物线的顶点O任意作互相垂直的弦OA、OB，问：弦AB是否经过一个定点？若经过，请求出定点坐标，否则说明理由；2研究：对于抛物线上某一定点P（非顶点），过P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否经过定点？

Answer 1

分析：（1）由条件可知动点M到定点F（1，0）的距离等于M到定直线x=-1的距离，抛物线的定义加以证明．
（2）先设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）及中点P的坐标，根据中点的定义得到三点坐标之间的关系，再由OA⊥OB得到

y1

x1

•

y2

x2

=-1，再结合A、B两点在抛物线上满足抛物线方程可得到y₁y₂、y₁²+y₂²的关系消去x₁、y₁、x₂、y₂可得到最后答案．；
设AB的方程为y=mx+n，代入y²=4x．得y²-2my-2n=0，然后由根与系数的关系可以得到直线AB的方程为x=my+my₀+x₀+2，它一定过交点（x₀+2，-y₀）．

解答：解：（1）证明：由题意可知：动点M到定点F（1，0）的距离等于M到定直线x=-1的距离
根据抛物线的定义可知，M的轨迹是抛物线
所以抛物线方程为：y²=4x
（2）
（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
l_AB：y=kx+b，（b≠0）由

y=kx+b y2=4x

消去y得：k²x²+（2bk-4）kx+b²=0，x₁x₂=

b2

k2

．
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，y₁y₂=

4b

k

所以x₁x₂+（x₁x₂）²=0，b≠0，∴b=-2k，∴直线AB过定点M（1，0），
（ii）设p（x₀，y₀）设AB的方程为y=mx+n，代入y²=2x
得y²-2my=-2n=0
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂-2n其中y₁，y₂分别是A，B的纵坐标
∵AP⊥PB∴k_max•k_min=-1
即

y1-y0

x1-x0

•

y2-y0

x2-x0

=1
∴（y₁+y₀）（y₂+y₀）=-4
•y₁y₂+（y₁+y₂）y₀+y₀²-4=0
（-2n）+2my₀+2x₀+4=0，
=my₀+x₀+2
直线PQ的方程为x=my+my₀+x₀+2，
即x=m（y+y₀）+x₀+2，它一定过点（x₀+2，-y₀）

点评：本题考查直线与圆锥的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意计算能力的培养，直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点内容，每年必考．