Question

已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x=-2的距离小1．
（1）求证：M点的轨迹是抛物线，并求出其方程；
（2）我们知道：“过圆上任意一点P，任意作互相垂直的弦PA、PB，则弦AB必过圆心”（定点）．受此启发，研究下面问题：
对于抛物线y²=2px（p＞0）上某一定点P（非顶点），过P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否经过定点？

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义即可得出点M的轨迹方程；
（2）设P(

y02

2p

，  y0)，A(

y12

2p

，  y1)，  B(

y22

2p

，  y2)，由PA⊥PB，可得

PA

•

PB

=0，得到关于y₁，y₂，y₀的一个关系式（*），利用点斜式可得到直线AB的方程，把（*）代入即可得到直线AB过一个定点．

解答：证明：（1）设M（x，y）到定直线x=-2的距离为d，
若x≤-2，则|MF|＞d，不符题意，所以点M在直线x=-2的右侧．
于是动点M到定点F （1，0）的距离与到定直线x=-1的距离相等，
所以M点的轨迹是抛物线，其方程为y²=4x．
（2）设P(

y02

2p

，  y0)，A(

y12

2p

，  y1)，  B(

y22

2p

，  y2)，
则

PA

=(

(y1+y0)(y1-y0)

2p

，  y1-y0)，

PB

=(

(y2+y0)(y2-y0)

2p

，  y2-y0)，
因为PA⊥PB，所以

PA

•

PB

=(y1-y0)(y2-y0)(

(y1+y0)(y2+y0)

4p2

+1)=0，
因为（y₁-y₀）（y₂-y₀）≠0，所以

(y1+y0)(y2+y0)

4p2

+1=0，
即-y1y2=(y1+y2)y0+y02+4p2①．
直线AB的方程为x-

y12

2p

=

y12 2p - y22 2p

y1-y2

(y-y1)，
即x-

y12

2p

=

y1+y2

2p

(y-y1)，x-

y12

2p

=

y1+y2

2p

y-

y12+y1y2

2p

，x=

y1+y2

2p

y+

-y1y2

2p

，
把①代入得：x=

y1+y2

2p

y+

(y1+y2)y0+y02+4p2

2p

，化简得x-(

y02+4p2

2p

)=

y1+y2

2p

(y+y0)，
故直线AB恒过定点(

y02+4p2

2p

，  -y0)．

点评：本小题主要考查抛物线的定义及其性质、直线过定点问题、如何设抛物线上的点坐标、直线的点斜式等基础知识，考查数形结合、方程思想、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新探究意识．