题目内容

    已知函数g(x)=(2－x)3－a(2－x)，函数f(x)的图象与g(x)的图象关于直线x－1＝0对称.

    (1)求f(x)的表达式；

    (2)若f(x)在区间［1，＋∞］上是单调增函数，求实数a的取值范围；

    (3)记h(x)＝f(x)+g(x)，求证：当x1，x2∈(0，2)时，|h(x1)－h(x2)|＜12|x1－x2|.

 

答案：
解析：

答案：解：(1)设P(x，y)为函数f(x)图象上任一点，其关于x＝1的对称点P′(x′，y′)应在g(x)图象上.

    ∴∴代入g(x)表达式得f(x)= x3－ax.      

    (2)∵f′(x)=3x2－a，且f(x)在［1，+∞)上是增函数，

    ∴3x2－a≥0在［1，+∞）上恒成立，∴a≤3x2∈［3，+∞）恒成立.

    ∴a≤3.

    (3)∵h(x)=f(x)+g(x)=(2－x)3－a(2－x)+x3－ax=6x2－12x+8－2a，

    |h(x1)－h(x2)|=|(6x12－12x1+8－2a)－(6x22－12x2+8－2a)|

    =|6(x12－x22)－12(x1－x2)|

    =6|x1－x2|·|x1+x2－2|.

    ∵x1，x2∈(0，2).

    ∴0＜x1+x2＜4，∴－2＜x1+x2－2＜2，

    即|x1+x2－2|＜2，∴6|x1－x2|·|x1+x2－2|＜12|x1－x2|，

    即|h(x1)－h(x2)|＜12|x1－x2|.

 


练习册系列答案
相关题目
已知函数g(x)=-
a2
3
x3+
a
2
x2+cx(a≠0)，
（I）当a=1时，若函数g（x）在区间（-1，1）上是增函数，求实数c的取值范围；
（II）当a≥
1
2
时，（1）求证：对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是c≤
3
4
；
（2）若关于x的实系数方程g′（x）=0有两个实根α，β，求证：|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是-
1
4
≤c≤a2-a．
已知向量
m
=(coswx，sinwx)，
n
=(coswx，
3
coswx)，设函数f(x)=
m
•
n
+1且f（x）的最小正周期为2π．
（I）求f（x）的单调递增区间和最值；
（II）已知函数g(x)=
tanx-tan3x
1+2tan2x+tan4x
，求证：f（x）＞g（x）．
已知函数g(x)=
x2-2
(x≥2)的导数为g′(x)=
x
x2-2
(x≥2)，记函数f（x）=x-kg（x）（x≥2，k为常数）．
（1）若函数f（x）在区间（2，+∞）上为减函数，求k的取值范围；
（2）求函数f（x）的值域．
已知函数g(x)=1-2x ， f[g(x)]=
1-x2
x2
 (x≠0)，则f（0）等于（　　）
已知函数g(x)=
x+2，x＞-
1
2
-x-
1
2x
，-
2
2
＜x≤-
1
2
2
，x≤-
2
2
，若g(a)≥g(
1
a
)，则实数a的取值范围是
[-
2
，0)∪[1，+∞)
[-
2
，0)∪[1，+∞)
．

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