题目内容
16、设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-2)=-f(x)对一切x∈R都成立,又当x∈[-1,1]时,f(x)=x3,则下列四个命题:①函数y=f(x)是以4为周期的周期函数;②当x∈[1,3]时,f(x)=(2-x)3; ③函数y=f(x)的图象关于x=1对称;④函数y=f(x)的图象关于(2,0)对称.其中正确的命题是
①②③④
.分析:根据题意,结合各个选项,逐一检验答案,将条件等价转化变形,综合考虑函数的周期性、对称性、解析式,分析可得答案.
解答:解:∵函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∵f(x-2)=-f(x)对一切x∈R都成立,∴f(x-4)=f(x),∴函数y=f(x)是以4为周期的周期函数,
故①正确.
当x∈[1,3]时,x-2∈∈[-1,1],f(x-2)=(x-2)3=-f(x),
∴f(x)=(2-x)3,故②正确.
∵f(x-2)=-f(x),∴f(1+x)=f(1-x),∴函数y=f(x)的图象关于x=1对称,
故③正确.
∵当x∈[1,3]时,f(x)=(2-x)3,∴f(2)=0,
∵f(x-2)=-f(x),∴f(-x-2)=-f(-x)=f(x)=-f(x-2),
∴f(x+2)=-f(x-2),∴函数y=f(x)的图象关于(2,0)对称.
故正确的命题有 ①②③④,
故答案选 ①②③④.
∵f(x-2)=-f(x)对一切x∈R都成立,∴f(x-4)=f(x),∴函数y=f(x)是以4为周期的周期函数,
故①正确.
当x∈[1,3]时,x-2∈∈[-1,1],f(x-2)=(x-2)3=-f(x),
∴f(x)=(2-x)3,故②正确.
∵f(x-2)=-f(x),∴f(1+x)=f(1-x),∴函数y=f(x)的图象关于x=1对称,
故③正确.
∵当x∈[1,3]时,f(x)=(2-x)3,∴f(2)=0,
∵f(x-2)=-f(x),∴f(-x-2)=-f(-x)=f(x)=-f(x-2),
∴f(x+2)=-f(x-2),∴函数y=f(x)的图象关于(2,0)对称.
故正确的命题有 ①②③④,
故答案选 ①②③④.
点评:本题考查函数的奇偶性和周期性,以及运用函数的奇偶性和周期性求函数解析式及函数值、函数图象的对称性.
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