Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0,-)，(0,)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）写出C的方程；
（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？

Answer 1

【答案】解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，
其中c=,a=2，所以b2=a2﹣c2=4-()2=1．
故轨迹C的方程为：；
（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
由（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0
由△=16k2+48＞0，可得：，
再由=0x1x2+y1y2=0
即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
所以，．
【解析】（1）由题意可知P点的轨迹为椭圆，并且得到c=,a=2，求出b后可得椭圆的标准方程；
（2）把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后得到判别式大于0，然后利用根与系数关系得到直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，写出两个向量垂直的坐标表示，最后代入根与系数的关系后可求得k的值．