题目内容

有一矩形钢板ABCD缺损了一角（图中阴影部分），边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，已知AB=4米，AD=2米．
（1）如图所示建立直角坐标系，求边缘线OM的轨迹方程；
（2）①设点P（t，m）为边缘线OM上的一个动点，试求出点P处切线EF的方程（用t表示）；
②求AF的值，使截去的△DEF的面积最小．

解：（1）如图，以O点为原点，OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，
则D（0，1），直线AB方程为y=-1
∵OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离，
∴OM的轨迹为以D点为焦点，以AB为直径的抛物线的一部分，
∴OM的轨迹方程为x²=4y（0≤x≤1）
（2）①∵点P（t，m）在曲线x²=4y，∴t²=4m，m= $\text{[math]}$
曲线x²=4y可化为y= $\text{[math]}$ ，求导，得，y′= $\text{[math]}$
∴曲线在点P处切线斜率k= $\text{[math]}$ ，切线EF的方程为y-m= $\text{[math]}$ （x-t）
把m= $\text{[math]}$ 代入，得，y- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x-t）
②令切线y- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x-t）中x=0，得，y=- $\text{[math]}$
令y=1，得，x= $\text{[math]}$
∴S_△DEF= $\text{[math]}$ |DE||DF|= $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∴S′_△DEF= $\text{[math]}$ ，当t∈[0，1]时，S′_△DEF＜0
∴S_△DEF随t的增大而减小，
∵0≤t≤1，∴当t=1时，S_△DEF有最小值为 $\text{[math]}$
此时F点坐标为（0，- $\text{[math]}$ ），AF= $\text{[math]}$
∴当AF= $\text{[math]}$ 时，截去的△DEF的面积最小．
分析：（1）建立直角坐标系，利用抛物线的定义，到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹为抛物线，可判断OM的轨迹形状，再利用抛物线方程的求法求出轨迹方程即可．
（2）①欲求曲线在点P处的切线方程，只需求出切线的斜率，根据切线斜率是曲线在切点处的导数，即可求出切线斜率，再用直线方程的点斜式写出切线方程．
②利用①中所求切线方程，求出E，F两点坐标，把三角形DEF的面积用含t的式子表示，再用导数判断t等于何值时，面积有最小值．
点评：本题主要考查了借助圆锥曲线中的知识解决实际问题，属于圆锥曲线的应用．