Question

（2009•滨州一模）如图，三棱锥A-BCD中，AD、BC、CD两两互相垂直，且AB=13，BC=3，CD=4，M、N分别为AB、AC的中点．
（1）求证：BC∥平面MND；
（2）求证：平面MND⊥平面ACD；
（3）求三棱锥A-MND的体积．

Answer 1

分析：（1）利用线线平行证明线面平行，利用三角形中位线的性质证明MN∥BC即可；
（2）先证明BC⊥平面ACD，可得MN⊥平面ACD，从而可证平面MND⊥平面ACD；
（3）确定MN是三棱锥M-AND的高，利用等体积转化，可得结论．

解答：（1）证明：∵M、N分别为AB、AC的中点，∴MN∥BC．
又∵MN?平面MND，BC?平面MND，
∴BC∥平面MND．（4分）
（2）证明：∵BC⊥CD，BC⊥AD，CD∩AD=D，
∴BC⊥平面ACD．
又∵MN∥BC，∴MN⊥平面ACD．
∵MN?平面MND，∴平面MND⊥平面ACD．                       （8分）
（3）解：∵MN⊥平面ACD，∴MN是三棱锥M-AND的高．
在Rt△BCD中，BD=

BC2+CD2

=5．
在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=12．
∵AD⊥CD，N是AC的中点，
∴S△AND=

1

2

S△ACD=

1

4

CD•AD=12，
故VA-MND=VM-AND=

1

3

S△AND•MN=

1

3

×12×

3

2

=6．                   （12分）

点评：本题考查线面平行，考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，掌握线面平行，面面垂直的判定，利用等体积法求体积是关键．