Question

如图,三棱锥V—ABC中，VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°.

(1)求证：V、A、B、C四点在同一球面上;

(2)过球心作一平面与底面内直线AB垂直,

求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.

Answer 1

证明：(1)取VC的中点M，

    ∵VA⊥底面ABC，∠ABC＝90°,

    ∴BC⊥VB．在Ｒｔ△VBC中，M为斜边VC的中点，

    ∴ＭB＝ＭC＝ＭV.

    同理,在Ｒｔ△VAC中，ＭA＝ＭV＝ＭC.

    ∴ＭV＝ＭC＝ＭA＝ＭB.∴V、A、B、C四点在同一圆面上，M是球心.

     (2)取AC、AB、VB的中点分别为N、P、Q，连结NP、PQ、QM、MN,则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥V—ABC的截面，易证PQMN是平行四边形.

    又VA⊥BC，ＱP∥VA，NP∥BC，∴ＱP⊥PN.

    故截面MNPＱ是矩形.