Question

【题目】若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）为减函数，若f（2）=0，不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【解析】解：定义在R上的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），在（0，+∞）为减函数，即在R上是减函数，
∵f（2）=0，则f（﹣2）=0．
令t=x﹣1，不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0转化为tf（t）＞0．
当t＞0时，则f（t）＜0，可得：t＞2，即x﹣1＞2，解得：x＞3；
当t＜0时，则f（t）＞0，可得：t＜﹣2，即x﹣1＜﹣2，解得：x＜﹣1；
综上所得：不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
所以答案是：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．
【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．