题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为
),圆
的参数方程为:
(其中
为参数).
(1)判断直线与圆
的位置关系;
(2)若椭圆的参数方程为(
为参数),过圆
的圆心且与直线
垂直的直线
与椭圆相交于
两点,求
.
【答案】(1)直线与圆
相离;(2)
.
【解析】试题分析:
(1)利用极坐标方程、参数方程与直角坐标系间的转化关系,可得直线和圆
的普通方程,进而能判断直线
和圆
的位置关系. (2)将椭圆的参数方程化为普通方程为
,由直线
:
的斜率为
,可得直线
的斜率为
,即倾斜角为
,进而求得直线
的参数方程为
(
为参数),把直线
的参数方程
代入
,整理得
(*),然后再利用韦达定理和弦长公式
即可求出结果.
试题解析:
解: (1)将直线的极坐标方程
,化为直角坐标方程:
.
将圆的参数方程化为普通方程:
,圆心为
,半径
.
∴圆心到直线
的距离为
,
∴直线与圆
相离.
(2)将椭圆的参数方程化为普通方程为,
∵直线:
的斜率为
,
∴直线的斜率为
,即倾斜角为
,
则直线的参数方程为
(
为参数),即
(
为参数),
把直线l'的参数方程代入
,
整理得 (*)
由于,
故可设,
是方程(*)的两个不等实根,则有
,
,
.
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