Question

下列说法正确的为

②③⑤

．
    ①集合A={x|x²-3x-10≤0}，B={x|a+1≤x≤2a-1 }，若B⊆A，则-3≤a≤3；
    ②函数y=f（x） 与直线x=1的交点个数为0或1；
    ③函数y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称；
    ④a∈（

1

4

，+∞）时，函数y=lg（x²+x+a） 的值域为R；
    ⑤与函数 y=f（x）-2关于点（1，-1）对称的函数为y=-f（2-x）．

Answer 1

分析：由已知中集合A，B及B⊆A，分B为空集和B不为空集两种情况讨论求出a的取值范围，可得①的真假；
根据函数定义的唯一性，分x=1属于和不属于函数的定义域两种情况讨论求出函数图象与直线x=l的交点个数，可得②的真假；
根据函数图象的对称轴的求出，可得③的真假；
根据对数函数的性质，分析求出函数y=lg（x²+x+a） 的值域为R和定义域为R时，a的取值范围，可得④的真假；
根据函数图象的对称变换法则，求出函数对称变换后的解析式，可得⑤的真假．

解答：解：∵A={x|x²-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5 }，B={x|a+1≤x≤2a-1 }，若B⊆A，则-2≤a+1≤2a-1≤5（此时B不为空集）或a+1≥2a-1（此时B为空集），解得a≤3，故①错误；
函数y=f（x） 与直线x=1的交点个数为0个（此时1不属于定义域）或1个（1属于定义域），故②正确；
因为函数y=f（a+x）与函数y=f（b-x）的图象关于直线x=

b-a

2

对称，故函数y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称，即③正确；
a∈（-∞，

1

4

]时，真数x²+x+a的判别式大于等于0，即真数可以为任意正数，此时函数y=lg（x²+x+a）的值域为R，当a∈（

1

4

，+∞）时，x²+x+a＞0恒成立，函数y=lg（x²+x+a） 的定义域为R，即④错误；
根据对称变换法则，与函数y=f（x）-2关于点（1，-1）对称的函数为y=-2-[f（2-x）-2]=-f（2-x），即⑤正确
故答案为：②③⑤

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断，集合之间的关系，函数的定义，函数的对称性，对称变换及对数函数的单调性，熟练掌握函数的基本性质及定义是解答本题的关键．