Question

下列说法正确的为

①③④⑤

．
①函数y=f（x）与直线x=1的交点个数为0或l；
②集合A={x|x²-3x-10≤0}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，若B⊆A，则-3≤a≤3；
③函数y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称；
④函数y=lg（x²+x+a）的值域为R 的充要条件是：a∈(-∞，

1

4

]；
⑤与函数y=f（x）-2关于点（1，-1）对称的函数为y=-f（2-x）．

Answer 1

分析：①根据函数的定义可知，对任意的x都有唯一的y与之对应，考虑当x=1在与不在定义域内两种情况即可；
②B⊆A，需要考虑集合B为空集；
③函数y=f（2-x）图象上任取一点P（x，y），其关于直线x=2对称对称的点Q（4-x，y），把Q代入y=f（x-2）=f（4-x-2）=f（2-x），可判断；
④函数f（x）=lg（x²+x+a）的值域为R，则△=1-4a≥0，可求a的范围；
⑤在所求函数上取点（x，y），关于点（1，-1）对称点的坐标为（m，n），则x+m=2，y+n=-2，利用代入法可求得结论．

解答：解：①根据函数的定义可知，对任意的x都有唯一的y与之对应，当x=1不在定义域内时，y=f（x）与x=1没有交点，当x=1在定义域时，函数y=f（x）与直线x=l的交点为l个，从而可得y=f（x）与x=1的交点有1个或0个，故①正确
②集合A={x|x²-3x-10≤0}，B={x|a+1≤x≤2a-1}，若B⊆A，需要考虑集合B为空集，则a≤3，故②不正确；
③函数y=f（2-x）图象上任取一点P（x，y），关于直线x=2对称对称的点Q（4-x，y），把Q代入y=f（x-2）=f（4-x-2）=f（2-x），即函数y=f（2-x）上的任意一点关于直线x=2对称对称的点在y=f（x-2）上，即y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称，故③正确
④函数f（x）=lg（x²+x+a）的值域为R，则△=1-4a≥0，∴a≤

1

4

，故④正确；
⑤在所求函数上取点（x，y），关于点（1，-1）对称点的坐标为（m，n），则x+m=2，y+n=-2，∴m=2-x，n=-2-y，
∵n=f（m）-2，∴-2-y=f（2-x）-2，即y=-f（2-x），故⑤正确．
故正确的命题为①③④⑤
故答案为①③④⑤

点评：本题主要考查了函数的定义，对数函数的单调性在值域求解中的应用，考查函数的对称性，综合性强．