Question

设函数y=f（x）是定义在R₊上的函数，并且满足下面三个条件：
（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）当x＞1时，f（x）＜0；
（3）f（3）=-1，
（I）求f（1）、的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．
（III）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、的值；且当x＞1时，f（x）＜0，根据函数单调性的定义讨论函数的单调性．
（II）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．
（III）把f（kx）+f（2-x）根据条件转化为f[kx（2-x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式有解，分离参数转化我求函数的最值问题．
解答：解：（I）令x=y=1易得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且，
得．
（II）设0＜x₁＜x₂＜+∞，由条件（1）可得，
因，由（2）知，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在R₊上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：
其中0＜x＜2，由函数f（x）在R₊上的递减性，可得：，
由此解得x的范围是．
（III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）＜2可化为且0＜x＜2，
得，此不等式有解，等价于，
在0＜x＜2的范围内，易知x（2-x）_max=1，
故即为所求范围．
点评：考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，体现了转化的思想，（III）不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，采取分离参数的方法，转化为函数的最值问题，加大了试题的难度，属中档题．