题目内容

(2012•茂名二模)在我市“城乡清洁工程”建设活动中,社会各界掀起净化美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植A,B,C,D四棵风景树,受本地地理环境的影响,A,B两棵树的成活的概率均为
12
,另外两棵树C,D为进口树种,其成活概率都为a(0<a<1),设ξ表示最终成活的树的数量.
(1)若出现A,B有且只有一颗成活的概率与C,D都成活的概率相等,求a的值;
(2)求ξ的分布列(用a表示);
(3)若出现恰好两棵树成活的概率最大,试求a的取值范围.
分析:(1)由题设条件,能够列出方程2×
1
2
×(1-
1
2
)=a2
,由此能够求出实数a.
(2)由题设知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.分别求出P(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=2),P(ξ=3)和P(ξ=4),由此能求出ξ的分布列.
(3)由0<a<1,得
1
4
(1-a)2
1
2
(1-a)
a2
4
a
2
,由此能求出恰好两棵树成活的概率最大时的a的取值范围.
解答:(本小题满分13分)
解:(1)∵A,B两棵树的成活的概率均为
1
2
,另外两棵树C,D成活概率都为a(0<a<1),
出现A,B有且只有一颗成活的概率与C,D都成活的概率相等,
∴2×
1
2
×(1-
1
2
)=a2

∴a=
2
2
.…(2分)
(2)由题设知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.…(3分)
P(ξ=0)=
C
0
2
(1-
1
2
)2
C
0
2
(1-a)2
=
1
4
(1-a)2
,…(4分)
P(ξ=1)=
C
1
2
1
2
(1-
1
2
)
C
0
2
(1-a)2
+
C
0
2
(1-
1
2
)2
C
1
2
a(1-a)
=
1
2
(1-a)
,…(5分)
P(ξ=2)=
C
2
2
(
1
2
)2
C
0
2
(1-a)2
+
C
1
2
1
2
(1-
1
2
)
C
1
2
a(1-a)
+
C
0
2
(1-
1
2
)2
C
2
2
a2
=
1
4
(1+2a-2a2)
,…(6分)
P(ξ=3)=
C
2
2
(
1
2
)2
C
1
2
a(1-a)
+
C
1
2
1
2
(1-
1
2
)
C
2
2
a
2
=
a
2
,…(7分)
P(ξ=4)=
C
2
2
(
1
2
)2
C
2
2
a2
=
a2
4
.…(8分)
得ξ的分布列为:…(9分)
ξ 0 1 2 3 4
P
1
4
(1-a)2
1
2
(1-a)
1
4
(1+2a-2a2)
a
2
a2
4
(3)由0<a<1,显然
1
4
(1-a)2
1
2
(1-a)
a2
4
a
2
,…(10分)
∴P(ξ=2)-P(ξ=1)=
1
4
(1+2a-2a2)
-
1
2
(1-a)
=-
1
4
(2a2-4a+1)≥0
,…(11分)
P(ξ=2)-P(ξ=3)=
1
4
(1+2a-2a2)-
a
2
=-
1
4
(2a2-1)≥0
,…(12分)
由上述不等式解得a的取值范围是
2-
2
2
≤a≤
2
2
.…(13分)
点评:本题考查概率的求法,离散型随机变量的分布列的求法,求概率最大时实数的取值范围.解题时要认真审题,仔细解答,注意排列组合知识的灵活运用.
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