题目内容
(2012•茂名二模)在我市“城乡清洁工程”建设活动中,社会各界掀起净化美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植A,B,C,D四棵风景树,受本地地理环境的影响,A,B两棵树的成活的概率均为
,另外两棵树C,D为进口树种,其成活概率都为a(0<a<1),设ξ表示最终成活的树的数量.
(1)若出现A,B有且只有一颗成活的概率与C,D都成活的概率相等,求a的值;
(2)求ξ的分布列(用a表示);
(3)若出现恰好两棵树成活的概率最大,试求a的取值范围.
1 | 2 |
(1)若出现A,B有且只有一颗成活的概率与C,D都成活的概率相等,求a的值;
(2)求ξ的分布列(用a表示);
(3)若出现恰好两棵树成活的概率最大,试求a的取值范围.
分析:(1)由题设条件,能够列出方程2×
×(1-
)=a2,由此能够求出实数a.
(2)由题设知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.分别求出P(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=2),P(ξ=3)和P(ξ=4),由此能求出ξ的分布列.
(3)由0<a<1,得
(1-a)2<
(1-a),
<
,由此能求出恰好两棵树成活的概率最大时的a的取值范围.
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)由题设知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.分别求出P(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=2),P(ξ=3)和P(ξ=4),由此能求出ξ的分布列.
(3)由0<a<1,得
1 |
4 |
1 |
2 |
a2 |
4 |
a |
2 |
解答:(本小题满分13分)
解:(1)∵A,B两棵树的成活的概率均为
,另外两棵树C,D成活概率都为a(0<a<1),
出现A,B有且只有一颗成活的概率与C,D都成活的概率相等,
∴2×
×(1-
)=a2,
∴a=
.…(2分)
(2)由题设知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.…(3分)
P(ξ=0)=
(1-
)2
(1-a)2=
(1-a)2,…(4分)
P(ξ=1)=
•
(1-
)
(1-a)2+
(1-
)2
a(1-a)=
(1-a),…(5分)
P(ξ=2)=
(
)2
(1-a)2+
(1-
)
a(1-a)+
(1-
)2
a2=
(1+2a-2a2),…(6分)
P(ξ=3)=
(
)2
a(1-a)+
(1-
)
a2=
,…(7分)
P(ξ=4)=
(
)2
a2=
.…(8分)
得ξ的分布列为:…(9分)
(3)由0<a<1,显然
(1-a)2<
(1-a),
<
,…(10分)
∴P(ξ=2)-P(ξ=1)=
(1+2a-2a2)-
(1-a)=-
(2a2-4a+1)≥0,…(11分)
P(ξ=2)-P(ξ=3)=
(1+2a-2a2)-
=-
(2a2-1)≥0,…(12分)
由上述不等式解得a的取值范围是
≤a≤
.…(13分)
解:(1)∵A,B两棵树的成活的概率均为
1 |
2 |
出现A,B有且只有一颗成活的概率与C,D都成活的概率相等,
∴2×
1 |
2 |
1 |
2 |
∴a=
| ||
2 |
(2)由题设知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.…(3分)
P(ξ=0)=
C | 0 2 |
1 |
2 |
C | 0 2 |
1 |
4 |
P(ξ=1)=
C | 1 2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
C | 0 2 |
C | 0 2 |
1 |
2 |
C | 1 2 |
1 |
2 |
P(ξ=2)=
C | 2 2 |
1 |
2 |
C | 0 2 |
C | 1 2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
C | 1 2 |
C | 0 2 |
1 |
2 |
C | 2 2 |
1 |
4 |
P(ξ=3)=
C | 2 2 |
1 |
2 |
C | 1 2 |
C | 1 2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
C | 2 2 |
a |
2 |
P(ξ=4)=
C | 2 2 |
1 |
2 |
C | 2 2 |
a2 |
4 |
得ξ的分布列为:…(9分)
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||||
P |
|
|
|
|
|
1 |
4 |
1 |
2 |
a2 |
4 |
a |
2 |
∴P(ξ=2)-P(ξ=1)=
1 |
4 |
1 |
2 |
1 |
4 |
P(ξ=2)-P(ξ=3)=
1 |
4 |
a |
2 |
1 |
4 |
由上述不等式解得a的取值范围是
2-
| ||
2 |
| ||
2 |
点评:本题考查概率的求法,离散型随机变量的分布列的求法,求概率最大时实数的取值范围.解题时要认真审题,仔细解答,注意排列组合知识的灵活运用.

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