题目内容
(2012•茂名二模)已知函数f(x)=2
sin
cos
-2sin2
.
(1)求函数f(x)的值域;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=1,且b2=ac,求sinA的值.
3 |
x |
3 |
x |
3 |
x |
3 |
(1)求函数f(x)的值域;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=1,且b2=ac,求sinA的值.
分析:(1)将函数利用二倍角、辅助角公式化简,即可确定函数f(x)的值域;
(2)由f(C)=1,可得C=
,结合b2=ac,c2=a2+b2,即可求得sinA的值.
(2)由f(C)=1,可得C=
π |
2 |
解答:解:(1)函数f(x)=2
sin
cos
-2sin2
=
sin
+cos
-1=2sin(
+
)-1 …(3分)
∵x∈R,∴-1≤sin(
+
)≤1 …(4分)
∴-3≤2sin(
+
)-1≤1 …(5分)
∴函数f(x)的值域为[-3,1]…(6分)
(2)f(C)=2sin(
+
)-1=1,…(7分)
∴sin(
+
)=1,而C∈(0,π),∴C=
.…(8分)
在△ABC中,b2=ac,c2=a2+b2,…(9分)
∴c2=a2+ac,得(
)2+
-1=0 …(10分)
∴
=
…(11分)
∵0<sinA<1,
∴sinA=
=
.…(12分)
3 |
x |
3 |
x |
3 |
x |
3 |
3 |
2x |
3 |
2x |
3 |
2x |
3 |
π |
6 |
∵x∈R,∴-1≤sin(
2x |
3 |
π |
6 |
∴-3≤2sin(
2x |
3 |
π |
6 |
∴函数f(x)的值域为[-3,1]…(6分)
(2)f(C)=2sin(
2C |
3 |
π |
6 |
∴sin(
2C |
3 |
π |
6 |
π |
2 |
在△ABC中,b2=ac,c2=a2+b2,…(9分)
∴c2=a2+ac,得(
a |
c |
a |
c |
∴
a |
c |
-1±
| ||
2 |
∵0<sinA<1,
∴sinA=
a |
c |
| ||
2 |
点评:本题考查三角函数的化简,考查三角函数的性质,考查三角函数的定义,正确确定函数解析式是关键.
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