题目内容
（2012•茂名二模）已知函数f（x）=2
sin
cos
-2sin2
．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，且b2=ac，求sinA的值．
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
（1）求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，且b2=ac，求sinA的值．
分析：（1）将函数利用二倍角、辅助角公式化简，即可确定函数f（x）的值域；
（2）由f（C）=1，可得C=
，结合b2=ac，c2=a2+b2，即可求得sinA的值．
（2）由f（C）=1，可得C=
| π |
| 2 |
解答：解：（1）函数f（x）=2
sin
cos
-2sin2
=
sin
+cos
-1=2sin(
+
)-1 …（3分）
∵x∈R，∴-1≤sin(
+
)≤1 …（4分）
∴-3≤2sin(
+
)-1≤1 …（5分）
∴函数f（x）的值域为[-3，1]…（6分）
（2）f（C）=2sin(
+
)-1=1，…（7分）
∴sin(
+
)=1，而C∈（0，π），∴C=
．…（8分）
在△ABC中，b2=ac，c2=a2+b2，…（9分）
∴c2=a2+ac，得(
)2+
-1=0 …（10分）
∴
=
…（11分）
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=
=
．…（12分）
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵x∈R，∴-1≤sin(
| 2x |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴-3≤2sin(
| 2x |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴函数f（x）的值域为[-3，1]…（6分）
（2）f（C）=2sin(
| 2C |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴sin(
| 2C |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
在△ABC中，b2=ac，c2=a2+b2，…（9分）
∴c2=a2+ac，得(
| a |
| c |
| a |
| c |
∴
| a |
| c |
-1±
| ||
| 2 |
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=
| a |
| c |
| ||
| 2 |
点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查三角函数的定义，正确确定函数解析式是关键．
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