题目内容

(2012•茂名二模)已知函数f(x)=2
3
sin
x
3
cos
x
3
-2sin2
x
3

(1)求函数f(x)的值域;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=1,且b2=ac,求sinA的值.
分析:(1)将函数利用二倍角、辅助角公式化简,即可确定函数f(x)的值域;
(2)由f(C)=1,可得C=
π
2
,结合b2=ac,c2=a2+b2,即可求得sinA的值.
解答:解:(1)函数f(x)=2
3
sin
x
3
cos
x
3
-2sin2
x
3
=
3
sin
2x
3
+cos
2x
3
-1=2sin(
2x
3
+
π
6
)
-1 …(3分)
∵x∈R,∴-1≤sin(
2x
3
+
π
6
)≤1
       …(4分)
∴-3≤2sin(
2x
3
+
π
6
)
-1≤1 …(5分)
∴函数f(x)的值域为[-3,1]…(6分)
(2)f(C)=2sin(
2C
3
+
π
6
)
-1=1,…(7分)
sin(
2C
3
+
π
6
)=1
,而C∈(0,π),∴C=
π
2
.…(8分)
在△ABC中,b2=ac,c2=a2+b2,…(9分)
∴c2=a2+ac,得(
a
c
)2+
a
c
-1=0
      …(10分)
a
c
=
-1±
5
2
              …(11分)
∵0<sinA<1,
∴sinA=
a
c
=
5
-1
2
.…(12分)
点评:本题考查三角函数的化简,考查三角函数的性质,考查三角函数的定义,正确确定函数解析式是关键.
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