题目内容
已知抛物线C:y2=4x,直线l过抛物线的焦点F且与该抛物线交于A、B两点(点A在第一象限)(1)若|AB|=10,求直线l的方程;
(2)过点A的抛物线的切线与直线x=-1交于点E,求证:EF⊥AB.
分析:(1)设过抛物线的焦点F且与该抛物线相交的直线方程为y=k(x-1),代入抛物线方程,求x1+x2,再根据抛物线中,焦点弦公式,求出k值,则抛物线方程可求.
(2)利用导数求出过点A的抛物线的切线斜率,设出切线方程,根据切线与直线x=-1交于点E,求出E点坐标,
计算
•
的值,若为0,则问题得证.
(2)利用导数求出过点A的抛物线的切线斜率,设出切线方程,根据切线与直线x=-1交于点E,求出E点坐标,
计算
EF |
FA |
解答:解:设A(x1,y1)B(x2,y2),
(1)若l⊥x轴,则|AB|=4不适合
故设l:y=k(x-1),代入抛物线方程得k2x2-2(k2+2)x+k2
△=16k2+16>0∴x1+x2=
.
由|AB|=x1+x2+2=
+2=10,得k2=
直线l的方程为y=±
(x-1)
(2)当y>0时y′=
•切线的方程:y-y1=
(x-x1)得
E(-1,y1-
),
=(2,
-y1),
=( x1-1,y1)
•
=2(x1-1)+(
-y1)y1=2(x1-1)+2(1+x1)-4x1=0
∴EF⊥FA,即EF⊥AB.
(1)若l⊥x轴,则|AB|=4不适合
故设l:y=k(x-1),代入抛物线方程得k2x2-2(k2+2)x+k2
△=16k2+16>0∴x1+x2=
2(k2+2) |
k2 |
由|AB|=x1+x2+2=
2(k2+2) |
k2 |
2 |
3 |
直线l的方程为y=±
| ||
3 |
(2)当y>0时y′=
1 | ||
|
1 | ||
|
E(-1,y1-
1+x1 | ||
|
EF |
1+x1 | ||
|
FA |
EF |
FA |
1+x1 | ||
|
∴EF⊥FA,即EF⊥AB.
点评:本题考查了直线与圆位置关系中弦长公式的应用,以及导数求抛物线斜率的应用,综合性强.
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