Question

【题目】对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内有单调性；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为上的精彩函数，为函数的精彩区间．

（1）求精彩区间符合条件的精彩区间；

（2）判断函数是否为精彩函数？并说明理由．

（3）若函数是精彩函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1),,;(2)不是精彩函数,证明见解析;(3).

【解析】

(1)由精彩函数的定义,建立等量关系,即可求得符合条件的精彩区间;

(2)判断函数是否满足精彩函数的条件即可.

(3)由函数在定义域上单调递增,然后由有两个不等的实数解,转化为利用根的判别式求解的取值范围.

(1)由函数在定义域上为增函数,则由题意可得,解得,所以函数符合条件的精彩区间有:,,.

(2)不是精彩函数,证明如下:

由函数在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+)上单调递增,可得函数在定义域(0,+)上不单调,即不满足精彩函数的第一个条件,所以函数不是精彩函数.

(3)由函数定义域为,且易知函数在定义域上为单调递增函数,

因函数是精彩函数,则需有两个不等的实数解,即方程有两个不等的实数根设为,且,, ,

则令,

由题意得:,

联立解得