Question

【题目】已知函数．

（1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围；

（2）求证：时，．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求得f（x）的导数，可得切线斜率和切点，以及切线方程，可令y＝0，求得横坐标x，由题意可得x＞0，解不等式可得所求范围；

（2）求得f′（x）＝﹣ex+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣ex+a．判断g（x）递减，由函数零点存在定理可得g（x）存在零点x0，

求得f（x）≤f（x0），求得a，结合分析法和不等式的性质、函数的单调性，即可得证．

解：（1）函数f（x）＝lnx﹣ex+a的导数为f′（x）＝﹣ex+a．

曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣e1+a，

切点为（1，﹣e1+a），可得切线方程为y+e1+a＝（1﹣e1+a）（x﹣1），

可令y＝0可得x＝，由题意可得＞0，

可得e1+a＜1，解得a＜﹣1；

（2）证明：f′（x）＝﹣ex+a．设g（x）＝f′（x）＝﹣ex+a．

可得g′（x）＝﹣（+ex+a），当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）递减；

由a＞1﹣，ex+a＞ex．若ex＞，g（x）＜﹣ex＜0，

当0＜x＜1时，ex+a＜e1+a．若e1+a＜，即x＜e﹣1﹣a，

故当0＜x＜e﹣1﹣a时，g（x）＞0，即g（x）＝f′（x）有零点x0，

当0＜x＜x0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，

可得f（x）≤f（x0），

又f（x0）＝lnx0﹣ex0+a，又ex0+a＝，

可得f（x0）＝lnx0﹣，在x0＞0递增，

又a＝ln﹣x0＝﹣（lnx0+x0），

a＞1﹣﹣（lnx0+x0）＞1﹣＝﹣（ln+），

所以lnx0+x0＜ln+，由于lnx0+x0递增，

可得0＜x0＜，故f（x）≤f（x0）＜f（）＝﹣1﹣e．