Question

8．已知F₁、C、D分别是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点、上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆E于点A，B，|AF₁|+|BF₁|=4，$\overrightarrow{{F}_{1}C}$•$\overrightarrow{CD}$=2$\sqrt{3}$-1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过M（1，0）且斜率为$\frac{1}{2}$的直线1交椭圆E于P，Q两点，求△OPQ的面积．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的焦半径公式可得2a=4，即a=2，设出焦点和顶点的坐标，运用向量数量积的坐标表示解方程可得b=1，进而得到椭圆方程；
（2）求出直线l的方程，代入椭圆方程，消去x，解得y，再由△OPQ的面积为S_△OMP+S_△OMQ，运用三角形的面积公式可得．

解答 解：（1）由题意可设A（m，n），B（-m，-n），
由椭圆的焦半径公式可得|AF₁|+|BF₁|=4，
即为（a+em）+（a-em）=4，解得a=2，
又F₁（-c，0），C（0，b），D（a，0），
$\overrightarrow{{F}_{1}C}$=（c，b），$\overrightarrow{CD}$=（a，-b），$\overrightarrow{{F}_{1}C}$•$\overrightarrow{CD}$=2$\sqrt{3}$-1．
即为ac-b²=2c-（4-c²）=2$\sqrt{3}$-1．
解得c=$\sqrt{3}$，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）M（1，0）且斜率为$\frac{1}{2}$的直线1为y=$\frac{1}{2}$（x-1），
代入椭圆方程消去x，可得，8y²+4y-3=0，
解得y₁=$\frac{-1+\sqrt{7}}{4}$，y₂=$\frac{-1-\sqrt{7}}{4}$，
则△OPQ的面积为S_△OMP+S_△OMQ=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|
=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{7}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的焦半径公式和向量的数量积的坐标表示，同时考查三角形的面积的求法，注意联立直线方程和椭圆方程，求得交点的坐标，属于中档题．