题目内容
【题目】定义在R上的函数f(x)满足:f′(x)>1﹣f(x),f(0)=3,f′(x)是f(x)的导函数,则不等式exf(x)>ex+2(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A.{x|x>0}
B.{x|x<0}
C.{x|x<﹣1或x>1}
D.{x|x<﹣1或0<x<1}
【答案】A
【解析】解:设g(x)=exf(x)﹣ex , (x∈R),
则g′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣ex=ex[f(x)+f′(x)﹣1],
∵f′(x)>1﹣f(x),
∴f(x)+f′(x)﹣1>0,
∴g′(x)>0,
∴y=g(x)在定义域上单调递增,
∵exf(x)>ex+2,
∴g(x)>2,
又∵g(0)=e0f(0)﹣e0=3﹣1=2,
∴g(x)>g(0),
∴x>0,
∴不等式的解集为(0,+∞)
故选:A.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目