题目内容

下列命题:
①若f(x)存在导函数,则f′(2x)=[f(2x)]′;
②若函数h(x)=cos4x-sin4x,则h′(
π
12
)=0

③若函数g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2012)(x-2013),则g′(2013)=2012!;
④函数f(x)=
sinx
2+cosx
的单调递增区间是(2kπ-
3
,2kπ+
3
)(k∈z)

其中真命题为______.(填序号)
①[f(2x)]′=f′(2x)(2x)′=2f′(2x),所以①错误.
②因为h(x)=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x,
所以h'(x)=-2sin2x,即h′(
π
12
)=-2sin(2×
π
12
)=-2sin
π
6
=-2×
1
2
=-1
,所以②错误.
③因为g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2012)(x-2013),
所以g'(x)=[(x-1)(x-2)…(x-2012)]+(x-2013)?[(x-1)(x-2)…(x-2012)]'
所以g'(2013)=…=1×2×…×2012=2012!,所以③正确.
④函数的导数为f′(x)=
cosx(2+cosx)-sinx(-sinx)
(2+cosx)2
=
1+2cosx
(2+cosx)2

f′(x)=
1+2cosx
(2+cosx)2
>0
得1+2cosx>0,即cosx>-
1
2
,所以2kπ-
3
<x<2kπ+
3
,k∈Z

即函数的单调递增区间为[2kπ-
3
,2kπ+
3
],k∈Z
,所以④正确.
故答案为:③④.
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