Question

已知实数x，y满足x²+y²+4x+3=0，则x-2y的最小值为（　　）

• A、-2-

  5

• B、-2+

  5

• C、-2

  5

• D、2

  5

Answer 1

分析：把圆的方程先化为标准方程，然后再化为参数方程，把圆参数方程中x与y代入所求的式子中，后两项提取

12+(-2)2

，即

5

，设sinβ=

5

5

，cosβ=

2 5

5

，利用两角差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可求出x-2y的最小值．

解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）²+y²=1，
设圆的参数方程为：

x=-2+cosα y=sinα

，
则x-2y=（-2+cosα）-2sinα=-2+cosα-2sinα
=-2+

5

（

5

5

cosα-

2 5

5

sinα）
=-2+

5

sin（β-α）（其中sinβ=

5

5

，cosβ=

2 5

5

），
由sin（β-α）∈[-1，1]，得到sin（β-α）的最小值为-1，
则x-2y的最小值为-2-

5

．
故选A

点评：此题考查了圆的参数方程，三角形函数的恒等变形以及正弦函数的值域，考查了转化的数学思想．本题的思路为：由已知圆的方程转化为圆的参数方程，把表示出的x与y代入所求式子中，利用三角函数的恒等变换化为一个角的正弦函数，然后利用正弦函数的值域即可求出所求式子的最小值．