题目内容

已知向量 $数学公式$ =（1，1）， $数学公式$ =（1，0），＜ $数学公式$ ， $数学公式$ ＞= $数学公式$ 且 $数学公式$ =-1；若△ABC的内角A，B，C依次成等差数列，且A≤B≤C；
（1）若关于x的方程sin（2x+ $数学公式$ ）= $数学公式$ 在[0，B]上有相异实根，求实数m的取值范围；
（2）若向量 $数学公式$ =（cosA，2cos² $数学公式$ ），试求| $数学公式$ |的取值范围．

解：（1）∵2B=A+C 且A+B+C=π，∴B= $\text{[math]}$ ．令y=sin（2x+ $\text{[math]}$ ），x∈[0， $\text{[math]}$ ]，则 2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ，π]，∴ $\text{[math]}$ ．
∵关于x的方程sin（2x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ 在[0， $\text{[math]}$ ]上有相异实根，所以y=sin（2x+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ），即 $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ．
（2）令 $\text{[math]}$ =（x，y），∵ $\text{[math]}$ =（1，1）， $\text{[math]}$ =-1，所以x+y=-1．
又 $\text{[math]}$ =（1，0），＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ =0，即x=0，故y=-1，
所以 $\text{[math]}$ =（0，-1）， $\text{[math]}$ =（cosA，2cos² $\text{[math]}$ ）=（cosA，1+cosC）．
所以| $\text{[math]}$ |²=cos²A+cos²C=cos²A+cos²（ $\text{[math]}$ A）=1+ $\text{[math]}$ cos（2A+ $\text{[math]}$ ）．
由A∈（0， $\text{[math]}$ ，得2A+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ，π]，得cos（2A+ $\text{[math]}$ ）∈[-1， $\text{[math]}$ ），
∴| $\text{[math]}$ |²∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），故| $\text{[math]}$ |∈[ $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由条件求得B= $\text{[math]}$ ，令y=sin（2x+ $\text{[math]}$ ），由 x∈[0， $\text{[math]}$ ]求得y的值域，再由关于x的方程sin（2x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ 在[0， $\text{[math]}$ ]上有相异实根，所以y=sin（2x+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ），
由此求得 $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ，从而求得实数m的取值范围．
（2）令 $\text{[math]}$ =（x，y），由条件 $\text{[math]}$ =-1可得x+y=-1．再由 $\text{[math]}$ =（1，0），＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ ，求得以 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的坐标，可得| $\text{[math]}$ |²=1+ $\text{[math]}$ cos（2A+ $\text{[math]}$ ），再由A的范围求出| $\text{[math]}$ |的范围．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，求向量的模，属于中档题．