Question

4．以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位，圆O₁的方程为ρ=4cosθ，圆O₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
（1）求两圆的一般方程．
（2）求两圆的公共弦的长度．

Answer 1

分析 （1）圆O₁的方程为ρ=4cosθ，化为ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
圆O₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1即可化为普通方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4x}\\{{x}^{2}+（y+2）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得交点坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：（1）圆O₁的方程为ρ=4cosθ，化为ρ²=4ρcosθ，
∴直角坐标方程为：x²+y²=4x．
圆O₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为x²+（y+2）²=4．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4x}\\{{x}^{2}+（y+2）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$．
∴两圆的公共弦的长度=$\sqrt{（2-0）^{2}+（-2-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、曲线的交点、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．