Question

2．给出下列四个命题：
①已知m、n为直线，α为平面，$\left.\begin{array}{l}{m⊥α}\\{m⊥n}\end{array}\right\}$⇒n∥α
②已知m、n为直线，β为平面，$\left.\begin{array}{l}{m⊥β}\\{n⊥β}\end{array}\right\}$⇒m∥n；
③若关于x的不等式（ax-10）lg（$\frac{a}{x}$）≤0对任意正实数x恒成立，则a的取值范围是{a|a=$\sqrt{10}$，a∈R}；
④若a，b∈R，则$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=2，其中正确的序号是②③．

Answer 1

分析 根据空间线面关系的几何特征和判定方法，可判断①②的真假；
根据已知可得a＞0，且$\left\{\begin{array}{l}ax-10≥0\\ \frac{a}{x}≥1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}ax-10≤0\\ \frac{a}{x}≤1\end{array}\right.$恒成立，求出a的范围，可判断③；
根据基本不等式，可判断④．

解答 解：①已知m、n为直线，α为平面，$\left.\begin{array}{l}{m⊥α}\\{m⊥n}\end{array}\right\}$⇒n∥α，或n?α，故错误；
②已知m、n为直线，β为平面，由线面垂直的判定定理，可得：$\left.\begin{array}{l}{m⊥β}\\{n⊥β}\end{array}\right\}$⇒m∥n，故正确；
③若关于x的不等式（ax-10）lg（$\frac{a}{x}$）≤0对任意正实数x恒成立，
则a＞0，且$\left\{\begin{array}{l}ax-10≥0\\ \frac{a}{x}≥1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}ax-10≤0\\ \frac{a}{x}≤1\end{array}\right.$恒成立，
解得：a=$\sqrt{10}$，
则a的取值范围是{a|a=$\sqrt{10}$，a∈R}，故正确；
④若a，b∈R，且a，b同号时，$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=2，a，b异号时$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≤-2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=-2，故错误；
故正确的命题的序号是：②③，
故答案为：②③

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了空间线面关系的判定，难度中档．