题目内容
【题目】一幅标准的三角板如图1中，
为直角，
，
为直角，
，且
，把
与
拼齐使两块三角板不共面，连结
如图2.
（1）若
是
的中点，
是的中点，求证：
平面
；
（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图2中
，三棱锥
的体积为2，则图2是否为鳖臑？说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）是鳖臑，详见解析.
【解析】
（1）设
中点为
，连结
，
，可证
、
，从而得到
平面
.
（2）先求出
，再根据体积可得
到平面
的距离为
，结合
可得
平面，从而可证四个面均为直角三角形.
（1）证明：设中点为，连结，.
∵
是
的中点，是的中点，∴
，
∵
，∴，
∵
，
，
，
∴，
∵
，
∴平面
.
（2）此时三棱锥
是鳖臑，
∵
，
，
又三棱锥的体积
，故高
.
又∵，所以平面，因为
平面，
所以
，所以
是直角.
同理，
.
∵
，，
，所以
平面
，
因为
平面，故
也是直角.
又
，
显然是直角，故图2是鳖臑.
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