Question

（2013•绵阳一模）已知数列{a_n}是等比数列且a₃=

1

4

，a₆=2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{a_n}满足b_n=3log₂a_n，且数列{b_n}的前“项和为T_n，问当n为何值时，T_n取最小值，并求出该最小值．

Answer 1

分析：（I）由已知中数列{a_n}是等比数列且a₃=

1

4

，a₆=2．求出数列的公比，易得数列的通项
（II）根据（I）及b_n=3log₂a_n，可得数列{b_n}的通项公式，进而结合二次函数的性质，及n∈N⁺，可求出当n为何值时，T_n取最小值．

解答：解：（Ⅰ）设公比为q，由已知a₆=2，a₃=

1

4

，得a₁q⁵=2，a₁q²=

1

4

，
两式相除得q³=8，解得q=2，a₁=

1

16

，
∴a_n=

1

16

×2^n-1=2^n-5
（Ⅱ）b_n=3log₂a_n=3log₂（2^n-5）=3n-15，
∴T_n=

3

2

n2-

27

2

n，
又∵n∈N⁺
当n=4或5时，T_n取得最小值，最小值为-30

点评：本题考查的知识点是数列求和，等比数列的通项公式，其中分别求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式是解答的关键．