Question

（2013•绵阳一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，f（1-x）=1-f（x），2f（x）=f（4x），且当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），则f（

1

33

）等于（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  8

• C．

  1

  16

• D．

  1

  32

Answer 1

分析：先求出f（

1

2

），然后根据条件求出f(

1

4

)，f(

1

8

)，f(

1

16

)，f(

1

32

)，最后根据函数的单调性，以及两边夹的性质可求出所求．

解答：解：∵f（1）=1，f（1-x）=1-f（x）
令x=

1

2

得f（

1

2

）+f（

1

2

）=1即f（

1

2

）=

1

2

∵2f（x）=f（4x）
∴f（x）=

1

2

f（4x）
在f（x）=

1

2

f（4x）中，令x=

1

4

可得f（

1

4

）=

1

2

f(1)=

1

2

在f（1-x）+f（x）=1中，令x=

1

4

可得f（

1

4

）+f（

3

4

）=1即f（

3

4

）=

1

2

同理可求f（

1

8

）=

1

2

f(

1

2

)=

1

4

，f（

7

8

）=1-f（

1

8

）=

3

4

f(

1

16

)=

1

2

f(

1

4

)=

1

4

，f（

15

16

）=1-f（

1

16

）=

3

4

f(

1

32

)=

1

2

f(

1

8

)=

1

8

，f（

31

32

）=1-f（

1

32

）=

7

8

f(

1

64

)=

1

2

f(

1

16

)=

1

8

，f（

63

64

）=1-

1

8

=

7

8

∵当0≤x₁≤x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），
∴

1

8

=f(

1

64

)≤f(

1

33

)≤f（

1

32

）=

1

8

∴f(

1

33

)=

1

8

故选B

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题