题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)讨论的单调性;
(3)若有两个零点,求
的取值范围(只需直接写出结果).
【答案】(1);(2)见解析;(3)
.
【解析】
(1)求出函数的导数,计算,
的值,求出切线方程即可;
(2)求出函数的导数,通过讨论的范围,求出函数的单调区间即可;
(3)根据函数的单调性求出的最大值,得到
,所得到
,证明当
时,
有两个零点即可.
解:(1)时,
,
,
,
,
故切线方程是:,
故切线方程是:
(2)
①当时,显然
,
在
上单调递增;
②当时,令
,则
,易知其判别式为正,
设方程的两个根分别为,
,则
,
,
令得
,其中
,
所以函数在
上递增,在
上递减.
(3)由(2)知
①当时,显然
在
上单调递增,至多一个零点,不符合题意;
②当时,函数
在
上递增,在
,
上递减,
要使
有两个零点,必须
,即
,
又由得:
,代入上面的不等式得:
,解得
,
,所以
下面证明:当时,
有两个零点.
,
,
又,
且,
,
所以在
与
上各有一个零点.
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