题目内容

【题目】如图，四棱锥的底面是菱形，，平面平面，是等边三角形.

（1）求证：；

（2）若的面积为，求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，，结合等边三角形和菱形可证明，，从而可证明平面，进而可证.

（2）由的面积为可求出的边长为4，由平面平面可知，平面，则分别求出的面积以及 的长，利用可求出点到平面的距离.

（1）证明：取的中点，连接，，.

因为是等边三角形，是的中点，所以.

因为四边形是菱形，，所以是等边三角形，所以.

因为，且平面，平面，所以平面.

又因平面，所以.

（2）解：设，则，解得.

因为平面平面，，所以平面.

记点到平面的距离为，则.

易知，.在中，由，得

.边上的高为.

所以.而，

所以.解得.即点到平面的距离为.

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