题目内容
8.如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,若BC=2,AD=4,且∠ABD=∠ACD=60°,则四面体ABCD的体积的最大值是$\frac{4}{3}\sqrt{11}$.分析 作BE⊥AD于E,连接CE,取BC中点F,推出四面体ABCD的体积的最大值,当△ABD是等腰三角形时几何体的体积最大,求解即可.
解答 解:作BE⊥AD于E,连接CE,则AD⊥平面BEC,所以CE⊥AD,
取BC中点F,所以EF⊥BC,EF⊥AD,四面体ABCD的体积的最大值,只需EF最大即可,即需BE最大,
当△ABD是等腰三角形时BE最大,BE=CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=2$\sqrt{3}$,所以EF=$\sqrt{12-1}$=$\sqrt{11}$,
故四面体ABCD的体积的最大值为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{11}×4$=$\frac{4}{3}\sqrt{11}$
故答案为:$\frac{4}{3}\sqrt{11}$.
点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,考查空间想象能力,逻辑推理能力以及计算能力.
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