题目内容

20．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1与a3的等差中项为15，若S4=120，那么该数列的公比为3，$\frac{{S}_{2014}-{S}_{2012}}{{3}^{2012}}$=12．

分析 设出等比数列的公比q，由已知列式求出首项和公比，然后代入等比数列的通项公式得答案．

解答 解：设等比数列{an}的公比为q（q≠1），
由a1与a3的等差中项为15，且S4=120，得
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=30}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}=120}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{q=3}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{S}_{2014}-{S}_{2012}}{{3}^{2012}}$=$\frac{{a}_{2013}+{a}_{2014}}{{3}^{2012}}=\frac{{a}_{1}{q}^{2012}（1+q）}{{3}^{2012}}$=$\frac{3×{3}^{2012}（1+3）}{{3}^{2012}}=12$．
故答案为：3，12．

点评 本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．

练习册系列答案
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A．6B．7C．8D．9

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