题目内容
已知直线L:kx-y-3k=0,圆M:x2+y2-8x-2y+9=0
(1)求证:直线L与圆M必相交;
(2)当圆M截L所得弦最短时,求k的值,并求L的直线方程.
(1)求证:直线L与圆M必相交;
(2)当圆M截L所得弦最短时,求k的值,并求L的直线方程.
分析:(1)有直线的方程可得直线L过定点A,而点A在圆M的内部,从而可得直线L与圆M必相交.
(2)由于当弦长最短时,AC和直线L垂直,求得直线l的斜率,再利用点斜式求得L的直线方程.
(2)由于当弦长最短时,AC和直线L垂直,求得直线l的斜率,再利用点斜式求得L的直线方程.
解答:解:(1)∵kx-y-3k=0,即y=k(x-3),显然它的图象经过定点A(3,0),而32+02-8×3-2×0+9=-6<0,所以,点A(3,0)在圆M内,
所以:直线L与圆一定相交.
(2)由圆x2+y2-8x-2y+9=0得:(x-4)2+(y-1)2=8,它的圆心为C(4,1),由弦长最短,可得AC和直线L垂直,
故有:
•kl=-1,解得 kl=-1,
∴直线l的方程为:y-0=-1(x-3),即 x+y-3=0.
所以:直线L与圆一定相交.
(2)由圆x2+y2-8x-2y+9=0得:(x-4)2+(y-1)2=8,它的圆心为C(4,1),由弦长最短,可得AC和直线L垂直,
故有:
1-0 |
4-3 |
∴直线l的方程为:y-0=-1(x-3),即 x+y-3=0.
点评:本题主要考查直线过定点问题,直线和圆的位置关系,用点斜式求直线的方程,属于中档题.
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