题目内容

已知直线l:kx+y-k+2=0和两点A(3,0),B(0,1),下列命题正确的是
 
(填上所有正确命题的序号).
①直线l对任意实数k恒过点P(1,-2);
②方程kx+y-k+2=0可以表示所有过点P(1,-2)的直线;
③当k=±1及k=2时直线l在坐标轴上的截距相等;
④若
x03
+y0=1
,则直线(x0-1)(y+2)=(y0+2)(x-1)与直线AB及直线l都有公共点;
⑤使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是[-3,1];
⑥使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).
分析:根据题意,依次分析命题:利用直线系方程可得①正确,通过举反例可得②不正确.通过给变量取特殊值可得③不正确,由直线(x0-1)(y+2)=(y0+2)(x-1)过点M,P(两点式),即与直线AB有公共点M,与直线l有公共点P,可得 ④正确.直线l与线段AB有公共点时,数形结合易见,直线l应在直线PA到PB之间,而其间有斜率不存在的位置,求得k的范围,可得命题⑤、命题⑥都不正确;综合可得答案.
解答:解:①直线l方程为:y+2=-k(x-1),恒过点P(1,-2),故①正确.
②由于方程kx+y-k+2=0不能表示直线 x=1,故 ②不正确.
③当k=-1时直线l方程为 x-y-3=0,在坐标轴上的截距分别为3和-3,
直线l在坐标轴上的截距相反,故③不正确.
④若
x0
3
+y0=1
,则点M(x0,y0)在直线AB上(截距式),又点P(1,-2)在直线l上,
而直线(x0-1)(y+2)=(y0+2)(x-1)过点M,P(两点式),即与直线AB有公共点M,
与直线l有公共点P,故④正确.
⑤⑥直线l与线段AB有公共点时,直线l的斜率-k≥kPA=1,或者-k≤kPB=-3,
解得 k≤-1,或 k≥3,故命题⑤、⑥都不正确.
综上,答案为 ①④.
点评:本题考查过定点的直线系方程的特征,直线在坐标轴上的截距的定义,两直线的交点坐标的求法,属于中档题.
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