题目内容
【题目】长方体中,
,
分别是
,
的中点,
,
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点
,使得二面角
为
,若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析;(Ⅲ)线段上存在一点
,使得二面角
为
,且
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)要证与平面
平行,就是要证
与平面内的一条直线平行,由长方体的特征,过
作
交
于点
,可证
与
平行且相等,从而得
,得线面平行;
(Ⅱ)要证面面垂直,首先在矩形中,由已知可得
,因此再由长方体一性质有
,从而得
与平面
垂直,于是有面面垂直;
(Ⅲ)以为原点,
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立坐标系,写出各点坐标,设
(
),从而得
,求出二面角
的两个面的法向量,由法向量的夹角余弦的绝对值为
可求得
值,从而确定Q点是否存在.
试题解析:
(Ⅰ)证明:过作
交
于
,连接
.
∵是
的中点,∴
,
,
又∵是
中点,∴
,
,
∴,
,
是平行四边形,
∴,
又在平面
内,∴
平面
.
(Ⅱ)证明:∵平面
,
在平面
内,
∴,
在矩形中,
,
∴,
∴是直角三角形,∴
,
∴平面
,
∵在平面
内,∴平面
平面
.
(Ⅲ)解:以为原点,
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴建立坐标系,则
,
,
.
平面的法向量为
,
设,(
),则
,
设平面的法向量为
,
则令
,则
,
∵二面角为
,
∴,
由于,∴
,
∴线段上存在一点
,使得二面角
为
,且
.
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